基本的には logic は proposition が基本的な unit です。
proposition には truth value があり、 truth value は常に true, false の値を持ちます。

Proposition <-> TruthValue(True, False)

そして、関連する基本的な proposition の組み合わせに枠を持たせます。
その proposition - truth value の対応表を truth table といいます。
また、この枠を基本論理結合子といいます。

二進数は 0, 1 の二つの keyword を扱い数値を表現します。
この特性をいかしlogic での proposition の truth value である TRUE = 1, FALSE = 0 に置換し考慮します。

この proposition は複合されています。
基本的な proposition は次の二つです。

• 「金津新兵衛 氏は人間である。」
  
• 「金津新兵衛 氏は日本人である。」
  

この二つの proposition の結合子は「かつ」です。つまり、
「金津新兵衛 氏は人間である」かつ「金津新兵衛 氏は日本人である」
これで複合 proposition と同意になります。

結果、
proposition「金津新兵衛 氏は人間で日本人である」
は
proposition「金津新兵衛 氏は人間である」
かつ
proposition「金津新兵衛 氏は日本人である」
となります。

これを抽象化します。
proposition Z「金津新兵衛 氏は人間で日本人である」
は
proposition A「金津新兵衛 氏は人間である」
かつ
proposition B「金津新兵衛 氏は日本人である」
です。
proposition Z は proposition A かつ proposition B です。
proposition Z を proposition A かつ proposition B で表せるとき

「Z は A と B の conjunction(論理積) である」

といいます。
また A かつ B ですから、A と B の truth value が true の時のみ Z の truth value は true になります。
Z と A, B の truth table です。

conjunction truth table A B Z FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE

conjunction truth table [binary] A B Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

この論理積の式は一般に次式で表します。

Ａ・Ｂ

この場合だと Ｚ＝Ａ・Ｂになります。
また、論理積は一般に AND といわれています。

[まとめ]
conjunction (論理積) は AND ともいい、論理式は Ａ・Ｂ で表します。
つまり ＡとＢがともに 1 のとき結果が 1 になります。

この proposition は複合されています。
基本的な proposition は次の二つです。

• 「この匂いは curry である。」
  
• 「この匂いは うどん である。」
  

この二つの proposition の結合子は「または」です。つまり、
「この匂いは curry である。」または「この匂いは うどん である。」
これで複合 proposition と"大体"同意になります。
完全なる同意には、もう一つの概念が入ってきます。

• 「この匂いは curry と うどん である。」
  

憶測なら、他にも人生の経験則から案ずるものがあるかもしれないですね。
しかし、それは立脚点が間違いです。
大もとの proposition は「この匂いは curry か うどん である」です。
この 複合的な proposition からの基本 proposition は、それらからは成り立ちません。
これで複合 proposition と同意になります。

結果、
proposition「この匂いは curry か うどん である」
は
proposition「この匂いは curry である。」
または
proposition「この匂いは うどん である。」
または
proposition「この匂いは curry である。」と proposition「この匂いは うどん である。」
となります。

これを抽象化します。
proposition Z「この匂いは curry か うどん である」
は
proposition A「この匂いは curry である。」
または
proposition B「この匂いは うどん である。」
または
proposition A「この匂いは curry である。」と proposition B「この匂いは うどん である。」
です。
proposition Z は 「proposition A」 または 「proposition B」 または 「proposition A と proposition B」 です。
これは置き換えると次と同じです。
proposition Z は proposition A か proposition B か proposition A と B です。
これを

「Z は A と B の disjunction(論理和) である」

といいます。
また A か B か A と B ですから、A と B の truth value が false の時のみ Z の truth value は false になります。
Z と A, B の truth table です。

disjunction truth table A B Z FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE

disjunction truth table [binary] A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

この論理和の式は一般に次式で表します。

Ａ＋Ｂ

この場合だと Ｚ＝Ａ＋Ｂになります。
また、論理和は一般に OR といわれています。

[まとめ]
disjunction (論理和) は OR ともいい、論理式は Ａ＋Ｂ で表します。
つまり ＡとＢがともに 0 のとき結果が 0 になります。

この proposition は複合されています。
基本的な proposition は次の二つです。

• 「宝くじは当たりである。」
  
• 「宝籤は外れである。」
  

この二つの proposition の結合子は「あるいは」です。つまり、
「宝くじは当たりである。」あるいは「宝くじは外れである。」
これで複合 proposition と同意になります。

結果、
proposition「宝くじは当たりか外れである。」
は
proposition「宝くじは当たりである。」
あるいは
proposition「宝くじは外れである。」
となります。

これを抽象化します。
proposition Z「宝くじは当たりか外れである。」
は
proposition A「宝くじは当たりである。」
あるいは
proposition B「宝くじは外れである。」
です。
proposition Z は proposition A あるいは proposition B です。
proposition Z を proposition A あるいは proposition B で表せるとき

「Z は A と B の exclusive disjunction(排他的論理和) である」

といいます。
また A あるいは B ですから

• A と B の truth value が true の時 Z の truth value は false
  
• A と B の truth value が false の時 Z の truth value は false
  

になります。
Z と A, B の truth table です。

exclusive disjunction truth table A B Z FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE

exclusive disjunction truth table [binary] A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

この排他的論理和の式は一般に次式で表します。

Ａ[＋]Ｂ

申し訳ありません。通常は＋記号を○で囲むのですが、JIS に文字がありません。
Graphic で表現をしようかと考えましたが、[＋]で代用する事にしました。
[＋]は、著者が作り出した、規定外の文字です。
読者の方々は＋記号を丸で囲むようにお願いします。

この場合だと Ｚ＝Ａ[＋]Ｂになります。
また、排他的論理和は一般に Exclusive OR といわれています。

[まとめ]
Exclusive disjunction(排他的論理和) は Exclusive OR ともいい、論理式は Ａ[＋]Ｂで表します。
つまり ＡかＢのどちらかが 1 のときだけ結果が 1 になります。

Negation はちょっと特殊です。
Negation は複合ではありません。
新しい proposition を用意します。
proposition N :
「この色は赤色ではない。」
大元の proposition 「この色は赤色である。」を proposition Z とします。
このとき proposition Z と proposition N の関係に成り立つのが negation です。
この関係を

「proposition N は proposition Z の negation(否定)である」

といいます。
また N は Z の否定ですから

• N の truth value が true の時 Z の truth value は false
  
• N の truth value が false の時 Z の truth value は true
  

になります。
Z と N の truth table です。

negation truth table N Z FALSE TRUE TRUE FALSE

negation truth table [binary] N Z 0 1 1 0

この否定の式は一般に次式で表します。

＿ Ｎ

もうしわけありません。
この記号は正しいのですが、表示が無理矢理で再現しておりますので、
今後否定記号を ! (exclamation mark) で表現したいと思います。
つまり

＿ Ｎ

＝ !Ｎ

でお願いします。
この場合だと Ｚ＝!Ｎになります。
また、否定は一般に NOT といわれています。

[まとめ]
negation(否定) は NOT ともいい、論理式は !Ｎ で表します。
つまり bit 反転 になります。

Ｚ＝!(Ａ・Ｂ)

となります。

ただし、注意として"!"は数学でいう展開はできません。
例えば次のように

• !Ａ・!Ｂ＝Ｚ
  
• !Ａ・Ｂ＝Ｚ
  
• Ａ・!Ｂ＝Ｚ
  

この三つは数学などの展開に近い形ですが、

!(Ａ・Ｂ)＝Ｚ

と異なります。つまり出力される結果が全て異なります。
これらの式が意味する事は、それぞれ次の通りです。

!Ａ・!Ｂ＝Ｚ は"Ａの否定"と"Ｂの否定"の conjunction が出力になります。
!Ａ・Ｂ＝Ｚ は"Ａの否定"と"Ｂ"の conjunction が出力になります。
Ａ・!Ｂ＝Ｚ は"Ａ"と"Ｂの否定"の conjunction が出力になります。

そうすると truth table は次のようになります。

!A・!B A B !A !B out 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0

!A・B A B !A out 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0

A・!B A B !B out 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0

それぞれの出力結果が NAND の出力結果と異なっているのがわかると思います。

[まとめ]
NAND はAND の結果に NOT で出力したもので論理式は !(Ａ・Ｂ)で表します。
A と B が 1 のときだけ 0 になります。

Ｚ＝!(Ａ＋Ｂ)

となります。

ただし、論理式ですので、"!"は数学でいう展開はできません。
NAND と同様に例を確かめてみます。

• !Ａ＋!Ｂ＝Ｚ
  
• !Ａ＋Ｂ＝Ｚ
  
• Ａ＋!Ｂ＝Ｚ
  

!Ａ＋!Ｂ＝Ｚ は"Ａの否定"と"Ｂの否定"の disjunction が出力になります。
!Ａ＋Ｂ＝Ｚ は"Ａの否定"と"Ｂ"の disjunction が出力になります。
Ａ＋!Ｂ＝Ｚ は"Ａ"と"Ｂの否定"の disjunction が出力になります。

そうすると truth table は次のようになります。

!A＋!B A B !A !B out 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

!A＋B A B !A out 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1

A＋!B A B !B out 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1

それぞれの出力結果が NOR の出力結果と異なっているのがわかると思います。

[まとめ]
NOR はOR の結果に NOT で出力したもので論理式は !(Ａ＋Ｂ)で表します。
A と B が 0 のときだけ 1 になります。

• !Ａ・!Ｂ＝!(Ａ＋Ｂ)
  
• !Ａ＋!Ｂ＝!(Ａ・Ｂ)
  

これを truth table から確認します。